小学数学课程标准精选版解读(一)
聚焦核心概念落实核心素养
——《义务教育数学课程标准（2022年版）》内容结构化分析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）在课程理念、目标、内容等方面都有明显变化，明确落实立德树人的根本任务，体现了数学学科育人价值的课程理念，确定了核心素养导向的课程目标。课程内容的结构化是课程修订的重要理念，在这一理念下数学课程内容的结构和具体内容都有调整，理解和把握课程内容的结构化特征有助于准确把握《标准》，并有效落实于教学实践。
一、《标准》内容结构化的特征分析
为体现核心素养导向的课程目标，根据课程内容结构化整合的理念，《标准》在内容结构上进行了调整，在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域下整合或调整了学习主题。
小学由原来的两个学段调整为三个学段，各学段的主题变化较大。初中阶段的主题变化不大，某些表述有所调整，如事件的概率改成随机事件的概率。“综合与实践”领域虽没有内容主题，但变化较大的是以跨学科主题学习为主，并将部分知识内容融入其中。
（一）内容结构化体现了学习内容的整体性
课程内容的结构化通过主题整合的方式呈现，体现了学习内容的整体性。
在“数与代数”领域，小学三个学段的主题由原来的“数的认识”“数的运算”“常见的量”“探索规律”“式与方程”“正比例、反比例”六个整合为“数与运算”和“数量关系”两个。这不只是形式上的变化，更是从学科本质和学生学习视角对相关内容的统整，更好地体现了学科内容的本质特征和学生学习的需要。“数与运算”主题将数的认识和数的运算两个核心内容进行整合，将数与运算作为一个整体进行组织，体现二者之间的密切关联。小学阶段的运算都是数的运算，包括整数、小数、分数运算。数与运算不可分，数的认识包含数的抽象表达、数的大小比较等，自然数从小到大就是一个累加的过程，从1开始每增加一个后继（+1）就得到一个新的数，其中蕴含了加的运算，数的大小比较也与运算密切相关。运算的重点在于理解算理、掌握算法，算理的理解最终都要追溯到数的意义。如加法运算，整数和小数的加法是相同数位上的数相加，分数的加法是相同分母的分数直接相加，也就是分数单位相同的分数相加，即分母不变、分子相加。整数、小数、分数的加法计算都可以理解为相同计数单位的个数相加。将数与运算整合成一个主题，有助于从整体上理解数和运算，为学生从整体上把握和理解数学知识与方法，形成数感、符号意识、运算能力、推理意识等核心素养提供基础。“数量关系”主题突出了问题解决的内容载体和问题解决能力培养。常见的数量关系、式与方程、正比例、反比例和探索规律等内容得到整合（方程移到第四学段），这些内容的本质都是数量关系。从数量关系的视角理解和把握这些内容的教学，有助于从整体上认识这些内容的核心概念。数量关系的重点在于用数和符号对现实情境中数量之间的关系和规律进行表达，凸显用数学模型解决现实情境中的问题。在数量关系主题下，包含了用四则运算的意义解决实际问题，理解和运用常见的数量关系解决问题，从数量关系的角度理解字母表示关系和规律、比和比例等内容。初中第四学段的“数与式”也是数与运算的延伸，本质上是数的认识扩展，以及数与式的运算。“方程与不等式”“函数”两个主题要求学生较为系统地学习数量关系，并进一步学习变量之间的数量关系，探索事物的变化规律。从这个意义上说，义务教育阶段的“数与运算”和“数与式”构成了一个统整的主题；“数量关系”和“方程与不等式”“函数”构成了一个统整的主题。
在“图形与几何”领域，小学三个学段的主题整合为“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”。图形的认识重点是图形特征的探索与描述，图形的测量是对图形大小的度量，图形的认识与图形测量需要从整体上把握。图形的认识是对物体形状的抽象图形进行表示，重点是认识图形的特征。图形特征的认识与图形的测量有密切关系，如长方形相对的边相等这一特征，需要通过测量确认其正确性。图形的测量离不开对图形的认识，图形测量的过程与结果都与具体图形的特征密切相关。探索图形的周长、面积、体积的问题，一定要与具体的图形建立联系，对图形特征的把握直接影响图形测量的学习。如学生在学习长方形面积时，在一个长和宽都是整厘米的长方形中，摆满面积单位（1平方厘米的小正方形），面积单位的个数就是其面积。这样的操作之所以可行，与长方形的四个角都是直角有关。探讨平行四边形面积就没有这么简单，直接摆小正方形就行不通，要将平行四边形转化成长方形才可以。图形的认识和测量的整合，凸显了两个主题内容之间的内在联系，有助于学生从整体上理解和掌握这些内容，并使学生形成知识与方法的迁移。图形的位置与图形的运动也是有密切关系的内容。在小学，图形的位置重点是用一对有序数对描述一个点的位置（距离和方向也可以看作一对数），图形的运动主要是图形的平移、旋转和轴对称。要认识到图形运动本质上是图形上点的位置的变化，这种变化主要是平移或旋转，确定图形运动前的位置与运动后的位置的关系，了解其中的变化和不变，也就是点的位置的变或不变，所以图形的运动与图形的位置有密切的关系。初中第四学段“图形的性质”是“图形的认识与测量”的延伸，学生要以抽象的方式进一步探索小学阶段涉及的图形，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，理解和掌握尺规作图的基本原理和方法。“图形的变化”和“图形与坐标”是小学阶段“图形的位置与运动”的延伸，学生要进一步学习图形在轴对称、旋转和平移时的变化规律和变化中的不变量，以及用代数的方法表达图形的特征，体现数形结合。义务教育阶段图形与几何的相关主题构成一个整体。
在“统计与概率”领域，小学三个学段的主题调整为“数据分类”“数据的收集、整理与表达”和“随机现象发生的可能性”三个，重点强调数据的处理。收集、整理与表达是数据处理的主要方式，更有助于学生数据意识的形成。原课标中的“分类”调整为“数据分类”，与“数据的收集、整理与表达”一致，二者构成一个整体，都是以数据为研究对象，前者是后者必要的准备。学生可以从整体上理解统计离不开数据，二者都是用恰当的方法处理数据，从而逐步形成数据意识。初中第四学段的主题“抽样与数据分析”和“随机事件的概率”是小学三个学段主题的延伸，五个主题构成一个整体。
“综合与实践”领域强调解决实际问题和跨学科主题学习，以主题式学习和项目式学习的方式设计与组织。义务教育阶段对这一领域进行了整体设计，同样构成一个整体。
（二）内容结构化反映学科本质的一致性
内容结构化通过学习主题的重组实现，四个领域下的主题不仅体现了内容的整体性，还反映了主题内学科本质的一致性。学科本质一致性以主题的核心概念为统领，以一个或几个核心概念贯穿整个主题，在不同学段表现的水平不同，但本质特征具有一致性，指向的核心素养也具有一致性。以“数与代数”领域为例，对于“数与运算”主题，“数的意义与表达”“加的意义”“相等”“运算律”等是核心概念（大概念、大观念或关键概念），其中最重要的概念是“数的意义与表达”，整数、小数、分数的认识与运算都与相应数的意义与表达密切相关。“数的认识”中从整数到分数、小数，都是从数量到数的抽象，核心的概念就是其意义和用抽象符号表达的方式。自然数表达为“十进制计数法”，用0、1……9这十个符号和以十为基底的位值制表达所有的数，如235表达的是2个“百”、3个“十”和5个“一”，分数和小数也是用抽象的方式表达。“数的运算”中，算理和算法的理解最终都追溯到数的意义，同样具有一致性。在“数与运算”主题下，几乎所有的问题都可以用这样一个或几个核心概念去理解，这样少量的几个核心概念反映了这一主题的学科本质。在对该主题内容持续的学习过程中，学生会不断利用这些概念并通过迁移解决新的问题，相关的核心素养“数感”“符号意识”“推理意识”“运算能力”不断得到发展。初中第四学段的“数与式”是小学阶段“数与运算”主题的延续，数的认识拓展到有理数。运算不仅包括数的运算，还拓展到式的运算，但主题的学科本质是一致的，几个核心概念也贯穿在主题内容之中，学生核心素养的发展也具有一致性。
对主题学科本质的分析，特别是主题核心概念的确定，是值得研究的重要话题。上面仅是对“数与运算”主题学科本质一致性的简要分析。对“数量关系”“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”“数据的收集、整理与表达”等主题学科本质一致性的理解，以及相关核心概念的提炼，需要在教学实践中不断探索。
（三）内容结构化表现学生学习的阶段性
根据学生发展年龄特征和学习循序渐进的需要，义务教育阶段课程内容各学习主题以螺旋式上升的方式被安排在四个学段。不同学段提出了相应的水平要求，表现了学生学习的阶段性特征，这体现在各主题不同学段的“内容要求”“学业要求”和“学段目标”之中。以“数与代数”领域“数量关系”主题为例，在小学三个学段表述为“数量关系”，初中第四学段的“方程与不等式”和“函数”则是小学阶段数量关系的延伸和发展，在体现内容的整体性和学科本质一致性的同时，四个学段内容的选择和设计呈现明显的阶段性。对比第三学段“数量关系”主题和第四学段“方程与不等式”主题的部分学业要求，就可以发现它们的阶段性特征（见表1）。
从数量关系的角度看，两个主题的学科本质具有一致性，但有明显的阶段性特征。例如，关于等式的基本性质，第三学段的要求是“在具体问题中感受等式的基本性质”，第四学段则是“掌握等式的基本性质”；关于代数思维，第三学段的要求是“在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律”，第四学段则是“根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义”。了解各主题的阶段性要求，不仅对特定学段内容的理解和教学要求有重要意义，而且有助于教师了解同样主题在不同学段的特征，从而分析学生的学习基础和未来学习的需求。阶段性特征也体现在同一主题下对不同学段核心素养的要求上。例如，“数量关系”和“方程与不等式”主题，第三学段重点强调几何直观、模型意识（在内容要求中）和初步的应用意识，第四学段强调建立模型观念。
二、课程内容结构化的现实意义
《标准》强调，课程内容的组织“重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”，这是本次课程修订的重要理念。义务教育数学课程的结构化特征，在内容设计上体现了整体性、一致性和阶段性。为什么要对内容进行结构化整合？内容结构化有什么现实意义？下面对此作一些简要分析。
课程内容组织有多种模式，遵循学科的逻辑、学生发展的逻辑抑或解决社会问题的取向，不同设计理念构成不同样态的课程结构。课程内容的结构化是综合考虑各方面因素进行的课程组织方式。重视学科结构，是以学科逻辑为主线，以有助于学生理解和促进学生发展为目标的课程设计理念。“学科结构的学说对于课程的规划和组织具有指导作用和实际影响。内容的连贯与综合、教学方法和学习方式都与所采用的结构概念联系着。”许多教育学者对其有明确的论述，如布鲁纳在《教育过程》一书中对学科结构的价值、意义和方法作了系统阐述，施瓦布强调学科内容结构在课程教学设计中的作用。纵观学科结构研究的理论，结合本次课程修订提倡的理念，数学课程内容的结构化具有以下几个方面的意义。
（一）有助于更好地理解和掌握学科的基本原理
课程内容的结构化，目的在于体现学习内容之间的关联，使学生更好地理解一个学科的基本原理，进而促进其对学习内容的掌握和能力的发展。将学科内容恰当地组织起来，进而形成适应学生理解和迁移的知识结构，避免学生简单孤立地学习知识与方法，使其在学习过程中建立起合理的结构体系，这是课程内容结构化的基本理念。布鲁纳认为，“简单地说，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的”。例如，在数学中，“代数学就是把已知数同未知数用方程式连接起来，使得未知数成为可知的一种方法。解这些方程式所包含的三个基本法则，是交换律、分配律和结合律。学生一旦掌握了这三个基本法则所体现的思想，他就能认识到，要解的‘新’方程式完全不是新的，它不过是一个熟悉的题目的变形罢了。就迁移来说，一个学生是否知道这些运算法的正式名称，比起他是否能够应用它们来，是次要的”。学习内容的这种关联是通过学科的核心概念实现的，在结构化的内容体系中，知识之间不是孤立的互不相干的，学科知识之间是相互关联的，打通知识之间关联的钥匙就是学科的基本原理。布鲁纳强调教学要注重基本观念的运用，认为“一门课程在它的教学过程中，应反复回到这些基本观念，以这些观念为基础，直至学生掌握了与这些观念相适应的一整套体系为止”。学科结构化的目的是使学习者了解所学内容的关联，而不是对个别知识的掌握。学习者从内容的关联中体会其中的核心概念（或基本观念），并将这些核心概念在其后的学习中反复运用和强化。施瓦布对学科结构也有类似的观点，认为“学科结构是部分地由规定的概念体系所构成”“不同的学科具有极其不同的概念结构”。近年来有关学科的大概念、大观念，学科核心概念的进阶等方面的研究重点，都与学科结构的理念一脉相承。
前面分析的《标准》内容结构整体性特征体现了这样的理念，一个主题内知识与方法之间构成一个整体，这些内容通过核心概念建立起联系，使具体内容的学习不再单一而碎片化，而是强调在具体内容中体现基本原理的核心概念的理解和运用。例如，数与运算中“数的意义与表达”“相等”“运算律”等是核心概念，这些核心概念是学习相关内容的关键，在学习具体内容时，学习者将不断地回到这些核心概念，从而在整体上理解掌握相关的内容。
（二）有助于实现知识与方法的迁移
内容结构化使得零散的内容通过核心概念建立关联。核心概念（关键概念、大概念、大观念）可以把主题内零散的内容联系起来，促进知识与方法的迁移。“核心概念是可以把领域或主题内，甚至跨越不同领域、不同主题的更为基本的概念、方法和问题联系起来的具有支配性的概念，是促进有意义的、联系紧密的知识的一个实用而强大的工具。例如，‘等分’这个核心概念（一个整体可以被分为大小相等的几个部分）为儿童发明用于公平分配物品的非正式方法提供了概念基础，等分（类比公平分配的非正式的形式）就为理解包括除法、分数、度量和平均分在内的正式概念奠定了基础。”内容结构化可以通过核心概念更好地理解和掌握一类内容中基本的概念和方法。核心概念帮助学生更好地理解和强化更多的知识与方法，并将其运用于新场景的学习之中，实现知识与方法的迁移。学生学到的是以核心概念为线索的一套学科内容体系，而不是简单的零碎的知识和技能。在布鲁纳有关学科结构的理论中，人们所熟知的“任何学科的基本原理都可以用某种形式教任何年龄的任何人”的观点，听起来似乎有些极端，但从内容结构化的视角理解，这里的基本原理并不是形式化的术语表达的抽象的学科概念，而是支撑某一类知识体系的核心概念，这些核心概念的表现形式可以处于不同层次和不同水平。对于不同年龄的学生，可以用恰当的方式使他们在不同水平上认识其表达方式，如数学中的“相等”是一个核心概念，对于用“=”来表达相等的关系就有不同水平，有研究将其分为“机械的操作型，灵活的操作型，基础的关系型，互相比较型”等不同水平。《义务教育课程方案（2022年版）》提出的“加强课程内容的内在联系，突出课程内容结构化，探索主题、项目、任务等内容组织方式”正是反映了课程设计的结构化理念。早在20世纪90年代，北京的特级教师马芯兰就以结构化的思想梳理了小学数学的核心概念，并以核心概念为线索，“由十几个最基本的概念为知识的核心，把小学中的主要数学知识联系了起来。‘和’这个概念则是知识的核心的核心。在学生学习‘10以内数的认识’时就开始以渗透的手段逐步建立‘和’的概念，通过渗透‘和’的概念学习‘10以内数的认识’‘加、减计算’‘理解加减关系’‘加减求未知数’‘简单应用题的结构’”。马芯兰通过数学内容的结构化，以核心概念为线索构建学习内容体系，对“数与代数”领域中的540多个概念之间的从属关系进行了深入研究，将起决定作用的十几个核心概念提炼出来，形成了一个完整的知识结构体系。用较少的时间使学生理解核心概念，可提高小学数学教学质量和效率，通过知识与方法的迁移实现小学数学教学减负增效。
近年来有许多关于“大概念”及其在学科课程教学中作用的研究，促进人们深入地思考其理论与实践。“广义的大概念指的是，在认知结构化思想指导下的课程设计方式，是为避免课程内容零散庞杂，用居于学科基本结构的核心概念或若干居于课程核心位置的抽象概念整合相关知识、原理、技能、活动等课程内容要素，形成有关联的课程内容组块。狭义的大概念同样是出于课程结构化的目的，同时强调学生对核心概念本质的理解，特指对不同层级核心概念理解后的推论性表达。”这里提到的“大概念”“核心概念”都与课程的结构化密切相关，只有在具有结构化特征的学科内容主题中，核心概念才有可能得到凸显，发挥引领、深化的作用，带来持续发展。
以核心概念为线索的课程内容结构化，有助于课程实施者更好地把握课程内容本质，在分析和提炼学习主题核心概念的基础上，理解具体学习内容的学科本质，使学生深刻理解和掌握学习内容，并在此基础上实现知识与方法的迁移，从而促进学生核心素养的形成。结构化的课程内容可以促进课堂教学的改革，实现“用少量主题的深度覆盖去替换学科领域中对所有主题的表面覆盖，这些少量主题使得学科中的关键概念得以理解”。这样的教学设计之所以能够实现少量主题的深度覆盖替换所有主题的表面覆盖，是因为利用知识与方法的迁移，而在迁移中发挥作用的则是“关键概念”，这里的关键概念与核心概念是一致的。
（三）有助于准确把握核心概念的进阶
学习进阶的研究是针对学科的核心概念或大概念展开的，在物理、化学、生物等科学类学科中有大量的研究。数学学科的学习进阶研究在国外由来已久。尽管数学学科学习进阶研究与科学领域的有所不同，但在本质上具有共同的特征。国内对于数学学科学习进阶的研究虽然刚刚起步，但也有学者对数与代数、统计与概率等主题中核心概念的进阶有系列的研究。学习进阶研究重点关注四个必备的要素：大概念及对大概念的解析；界定清晰的各进阶层级；检验学生所处水平的测评工具；促进学生发展的教学干预手段。从某种意义上说，学习进阶的研究可以看作布鲁纳学科结构理论的延续与教学实践的支持。布鲁纳认为，教授学科基本结构有四个重要意义：一是懂得基本原理，使得学科更容易理解；二是使学习的内容更容易记忆；三是更容易实现知识和方法的迁移；四是缩小高级知识与低级知识之间的差别。这些关于学科结构重要性的观点，与学习进阶的基本要素有异曲同工之处。就学科内容结构化的现实意义而言，我们还需在上述学科结构的四个意义的基础上增加一条，就是结构化的内容对于学生形成核心素养的重要意义。以核心概念为主线的结构化学习主题，有助于课程实施者从学习进阶的视角整体理解学生不同阶段的学习内容，明确每一个阶段完成的学习任务所达成相关核心概念的阶段性水平。随着学习进程的递进，学习内容不断扩展，相关核心概念的水平不断提升，从而使学生的核心素养逐步形成。结构化的内容会使学生的学习变得更轻松，更持久，“一个人越是具有学科结构的观念，就越能毫不疲乏地完成内容充实和时间较长的学习情节”。在这样的学习过程中，学习建立积极的情感体验，而持久的学习经历也有助于活动经验的积累和核心素养的形成。内容结构化，凸显学习主题的整体性和一致性，并通过主题中起重要作用的核心概念来实现。
内容结构化的阶段性特征凸显学习进阶的进程，学习进阶的阶段性特征通过关键内容的教学体现出来。课程内容的结构化提供了以核心概念为线索的促进学习进阶的路径，透过关键内容的深度学习实现核心概念的理解与进阶。以“数与运算”主题为例，“数的意义与表示”可以看作一个核心概念，其核心要义是如何从数量抽象为数，如何将数用符号表达出来。在义务教育阶段的四个学段中，学生学习有关数的内容时都与这个概念建立关联。第一学段认识20以内的数、百以内的数、万以内的数；第二学段认识十进制计数法，初步认识分数和小数；第三学段认识分数和小数的意义，自然数的性质（奇数与偶数、质数与合数）；第四阶段认识有理数。每一个阶段虽然认识具体的数不同，但其学科本质都指向核心概念“数的意义与表示”，都是用抽象的符号和计数单位表达数。例如，35表示的是3个十（十位），5个一（个位）；35表示的是3个1/5（分数单位）；-35表示与35相反的量。每一种抽象的符号表达，都与具体的数量关联。如何建立起这种关联，学生在不同阶段对于这种关联的理解水平如何，以及如何引导学生理解与掌握这种关联，都需要通过结构化的学习内容来实现。把握其中的核心概念，并在学生学习进阶过程中实现内容与方法的迁移，进而促进学生核心素养的发展，是整体提升教学质量的关键。课程内容的结构化为实现教学方式的变革提供了可能。
三、内容结构化带来的挑战与契机
课程内容结构化对课程实施提出了新的要求，同时也为教科书编写和教学改进等提供了契机。内容结构化体现了内容统整的理念，避免了知识的碎片化。在内容要求和学业要求中，将关联密切的知识内容统整，体现了核心概念为主线的内容一致性。内容结构化为教育者引导学生从整体上深刻理解主题的内容和方法，促进学生能力的发展和核心素养的形成提供了条件。在教学活动中，要充分考虑学科的核心概念，从体现核心概念的关键内容入手，促进学生对其学科本质的理解，形成知识与方法的迁移，逐步发展学生的核心素养。
（一）内容编排以主题的核心概念为线索
《标准》对领域下的主题进行了整合，凸显了数学学科的本质，体现了主题内容的一致性，为教科书编写和教学设计提供了更多选择和组织的空间。
首先，主题的整合将带来教科书呈现上的变化。《标准》除“综合与实践”领域外，小学阶段和初中阶段分别列出七个和八个学习主题，如“数与代数”领域包括“数与运算”“数量关系”“数与式”“方程与不等式”“函数”五个主题。每个主题都构成一个整体，其中蕴含了反映主题学科本质的核心概念，这些核心概念在不同学段具有一致性和阶段性。例如，小学的“数与运算”主题和初中的“数与式”主题具有共同特征，其学科本质具有一致性，“数的意义和表示”“相等”“运算律”等作为统领的核心概念体现在不同学段的相关内容之中，而在不同学段又具有阶段性特征，抽象的程度不同，表征的水平就有所不同。教科书的呈现既要考虑将其作为一个整体进行设计与组织，也要体现其阶段特征。对于“数与运算”主题，现有的教材大多是将数的认识和数的运算分成不同的单元进行设计。有教材将“100以内数的认识”和“100以内数的加减法”安排在一下和二上的不同单元。依据《标准》对“数与运算”主题的整体理解，可以考虑将100以内数的认识和加减法运算安排在同一单元，使学生在理解数的意义的同时，探索100以内加减法的算理和算法，从而在整体上理解和掌握这个内容。数与运算的结合，不仅促进学生对算理和算法的理解掌握，反过来也可以帮助学生从运算的角度进一步理解数的意义，有助于学生数感、符号意识、运算能力、推理意识等核心素养的形成。当然，并不是所有的数与运算内容都要采取整合的方式来编排，即使分成不同的单元进行组织和设计，也可以用整体的观点理解相关内容，以把握数与运算的关联。“图形与几何”领域将“图形的认识”与“图形的测量”主题整合为“图形的认识与测量”主题，强调图形的认识与测量关联，从整体上认识图形与测量。与其相关的核心概念可能包括“图形的特征”“图形大小的度量”等。几何中的测量都是对图形的测量，图形测量的本质是确定图形的大小，从一维、二维到三维，分别用长度、面积、体积表达。对一个图形完整的认识，包括对其特征（如长方形的边和角及其关系）的认识，也包括对这个图形的周长、面积等度量的认识。例如，三角形的两边之和大于第三边，可以从边的长度的测量视角进行探索。将图形的认识与测量整合成一个主题，为图形与几何的学习提供了更广阔的空间，不仅可以把周长和面积这样的测量问题整合起来进行分析和理解，也可以尝试将图形的认识与测量问题整合起来进行教材的组织和教学设计。
其次，具体内容主题归属的变化有助于课程实施者准确理解其学科本质。《标准》对一些内容调整了主题归属，如“用字母表示数”和“百分数”由原来“数的认识”主题下分别调整到“数量关系”和“数据的收集、整理与表达”主题下。用字母表示数在以往的标准和教学中只是作为数的进一步抽象，数是数量的抽象，字母又是对数的更一般的表达，是更高层次的抽象。《标准》将用字母表示数调整到“数量关系”主题下，重点将用字母表示数理解为事物之间关系和规律的一般性表达，其内容要求是“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性”，学业要求为“能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具有一般性”。从数量关系角度来理解字母表示数的学科本质，其教学的重点和意义与以往相比就会产生变化，从某种意义上弥补了小学阶段不学简易方程带来的缺失，有助于发展学生初步的代数思维。“百分数”的内容移到“数据的收集、整理和表达”这个主题下，凸显了百分数的统计意义。以往百分数在“数的认识”主题下，学生更多是从数的意义理解百分数，将百分数看作特殊的分数。但百分数主要用于解决实际问题，从统计意义上理解百分数更能清晰地了解其来龙去脉。百分数的内容要求是“结合具体情境，探索百分数的意义，能解决与百分数有关的简单实际问题，感受百分数的统计意义”。这些内容主题归属的变化，有助于课程实施者准确理解具体内容的本质，为合理的教学设计创造条件。
（二）内容分析凸显学科本质的整体特征
分析学习内容是合理进行教学设计和课堂实施的前提，其重点在于对学科内容的整体理解。课程内容结构化为整体上理解相关内容的学科本质提供了线索，有助于确定一类学习内容的核心概念、关键内容和重点难点。以“小数除法”为例，在现行某版本的教材中，这个内容单元和相关的前后知识安排如表2所示。
学习内容的单元分析一般是将单元作为整体，分析这个单元内容的本质及其不同内容之间的关系，确定单元的重点和难点等。从主题视角看单元内容的本质及其关联，并且将本单元内容与前后相关的单元内容建立联系，会对其本质有更清晰的认识和理解。“小数除法”这个单元的主题是“数与运算”，主要内容是小数除法的计算方法。从教材内容的具体分析可以看出，前三个内容是不同类型的小数除法，体现这个内容的核心概念是“计数单位个数‘累加’”。从计算方法的角度确定哪个具体内容（例题）是重点，有助于学生理解小数除法的算理和算法。而后三个内容“近似计算”“循环小数”“混合运算”不属于计算方法，近似计算和混合运算都与问题的情境有直接关系，从某种意义上讲涉及问题解决能力，其核心概念与计算方法不同。《标准》在第二学段“数与代数”领域对“数量关系”主题有“能在简单的实际情境中，运用四则混合运算解决问题”的学业要求。而循环小数在本质上是数的认识的扩展，之所以在小数除法单元中呈现，原因之一就是解决类似1÷3这样的问题时出现了循环小数，其重点不是除法的问题，是数的表示的拓展，是如何表达循环小数和循环小数在具体情境中怎样取舍的问题，其核心概念是“数的意义与表达”。这两类问题虽然不是该单元的重点，但与小数除法的计算有关，可以看作小数除法的应用，其本质是问题解决和数的表达。施教者在对内容进行纵向整体分析时还要了解前后单元的相关内容。从表2可以看到，四年级与小数除法相关的内容有整数除法、运算律和小数的意义等，五下进一步学习的分数除法，与整数除法和小数除法的算理相关。数的运算的重点在于理解算理、掌握算法，与算理直接相关的核心概念是“计数单位的‘累加’”，这一核心概念在四年级和五下都会在不同的运算单元中重复出现。从这个意义上讲，这些相关内容在学科本质上具有一致性。将能够突出地体现核心概念一致性的内容作为关键内容组织教学，有助于实现知识和方法的迁移，使这些相关内容在整体上形成一个“大单元”。内容结构化有助于从整体上把握内容的关联，清晰地梳理数的运算内容的线索，以及不同阶段“数与运算”主题之间的联系。将对主题学科本质的整体理解运用到具体的内容分析之中，有助于深刻理解具体学习内容的核心概念，以及单元内容的重点和关键内容的确定。
（三）教学活动突出关键内容的单元整体设计
内容结构化促进课堂教学改进的持续研究，从关键内容入手的单元整体教学设计是实现核心素养导向目标的重要路径。《标准》结构化的内容设计在领域下以主题的形式呈现，具体内容要求呈现学科知识与核心素养两条线索。主题的整合更加凸显学科内容的本质特征，以及相关内容之间的联系。通过教学内容的纵向分析，可以从整体上把握学习内容的发展脉络、学科本质的一致性特征以及内容之间的关联，同时把握一个主题内容重点体现的核心概念以及蕴含的核心素养。教学设计与组织应当采用单元整体教学设计的思路，从整体的视角分析内容本质和学生学情，聚焦核心概念，确定核心素养导向的学习目标，针对单元中的关键内容设计与实施体现深度学习的教学活动。下面以小数除法为例，借助表2作简要分析。
首先，基于自然单元内容的整体分析，形成以核心概念为线索的反映该单元与前后相关单元之间联系的内容的整体理解。以教材的自然单元为形，以单元和单元之间内容本质与核心概念为魂，从自然单元入手进行内容分析，既容易操作，又可以从自然单元分析中将学习内容延伸、拓展，实现对学习内容的整体理解。表2显示“小数除法”单元的核心内容是“数与运算”主题中的小数除法，其重点是理解算理、掌握算法。小数除法的算理和算法与整数除法有密切关系，需要追溯到整数除法，特别是有余数除法的教学，教学设计时有必要考虑唤起学生这方面的认知，特别是核心概念“计数单位个数‘累加’”的运用。小数意义的理解对于小数除法算理的理解不可缺少，教学中应采用恰当的方式帮助学生运用小数意义理解算理。除了这个主题外，第四至第六三个内容又涉及数的认识和问题解决等，教学中应与相关的核心概念关联，采取不同的教学策略。
其次，确定单元中的关键内容。关键内容是能更好地体现所学内容的学科本质和核心概念的内容，并且蕴含着相关的核心素养。表2中第一至第三个内容是不同类型的小数除法问题，这些内容中能较为集中地体现小数除法的算理和算法的内容可以作为教学的关键内容。从该单元的教材安排看，第一个内容是小数除以整数，可以理解教材的编者将这个内容作为关键内容的设计思路。这样的设计不无道理，这个内容直指小数除法运算，学生直接面对的是小数除法，要解决的问题就是被除数是小数时怎样计算，可借助这个问题理解小数除法的算理和算法。吴正宪基于多年的教学经验，在对内容进行整体分析基础上，将第二个内容“整数除以整数商是小数”作为关键内容，通过具体的问题情境引导学生探索和理解小数除法的算理和算法：“4个人吃饭，付给服务员97元，这顿饭他们要AA制”，让学生根据这个情境提出问题和解决问题。问题本身并不难，但在进行运算时发现97÷4=24……1，这是一个有余数的除法。在AA制的情境中，需要将余下的1继续除，在整数除法的范围内无法解决这个问题。“余下的1怎么分”引起学生学习过程的认知冲突。这个问题的解决直接引出小数除法计算算理的深度探索。将小数除法与以往学习的有余数的除法联系起来，运用学生学习的前概念，可以引起学生进一步探索和思考。更重要的是，从有余数的除法引入可以唤起学生相关的核心概念——计数单位个数“累加”与细分，并让学生将其运用于新的问题解决之中。当以“一”为单位的1不够除以4的时候，将其变成以十分之一为单位的10个0。1，就可以除以4，商是2（2个0。1），接下来的计算都是这个方法的推理。这个例题作为学习这类内容的关键内容，对于深刻理解算理、掌握算法起画龙点睛的作用。
最后，设计有效的教学活动。基于学生的基础和前概念，组织围绕关键内容的学习活动，有助于促进学生整体发展。关键内容体现学科本质，指向学生的核心素养。有效教学活动的组织需要基于学生现有的知识基础和对当前学习内容的理解水平以及存在的困惑，提出引发学生思考的问题，并采用多样性的策略与方法，引导学生独立思考、质疑问难、合作交流，在解决问题过程中深度理解所学内容，形成和发展核心素养。在小数除法教学中，师生围绕“余下的1怎样分”的问题展开教学活动，学生经过独立思考，给出不同的解决方法，再对有代表性的方法进行讨论、质疑、交流，最后实现问题解决，在理解算理、掌握算法的同时，学生的推理意识、运算能力、几何直观等核心素养获得发展。
课程内容结构化是深化基础教育课程改革的重要理念，在中小学数学课程与教学改革中应引起充分的重视。伴随着《标准》的颁布与实施，围绕课程内容结构化的理解及其引起的深化教学改革的探索将成为重要的研究话题。
小学数学课程标准精选版解读(二)
各位老师大家好，很高兴借助东师教师教育论坛这样一个平台，来跟大家分享一下义务教育数学课程标准2022年版有关内容结构化这方面的一些分析和自己学习的体会。
分这么三个问题来做介绍。首先说一下数学课标2022年版内容结构化的特征，然后谈一下内容结构化它的价值和意义。最后说一下体现内容结构化的教学变革。首先我们大家都知道义务教育课程标准在制定过程中强调的内容结构化，那么在数学课程标准2022年完里边也具有这样结构化的特征结构化的特征。从以下三个方面做一些简要的分析。首先是它的依据，第二就是它的主题是如何整合的，整合后的这种结构化的主题它的特征。首先我们来看一下，课程标准的制定实际上是以课程方案和课程标准同步做的，或者说数学各个。学科的课程标准是在义务教育课程方案指导下，以义义务教育课程方案为依据来做的。那么我就谈一下内容结构化的它主要的依据。首先就是课程方案。在课程方案里边有这样的一个论述，就是加强课程内容的内在联系，突出课程内容的结构化，探索主题项目任内容组织方式，这是课程方案的。那我们都知道义务教育的课程修订从
2021年那么到2011年，现在到2022，是在有一个不断变化的过程。那么课程方案是从2011年有一个课程方案，那么到2022年的新的课程方案，在这课程方案里规定了课程的指导思想。比如说遵循立德树人，落实立德树人的根本任务，致力于实现德、智、体、美劳的全面发展等等方面。那么在目标内容等方面也做了相应的规定。与内容相关的就是我刚才描述的这样一段话，这是义务教育课程方案里边所规定的。那么课程方案里边提出要突出课程内容结构化，突出结构化是怎么样。怎么样突出？应该在学科课程里边。不同的学科数学课程也应该按照这样一种方式进行一些结构化的变革，这是从课程方案。另外从国内外有关数学课程的研究。就是我们都知道数学是国际性的、通用的语言和工具那么数学教育在各个国家的数学整个教育的领域里边是占有重要的位置的。那么历来国际上对于课程数学课程改革都是非常重视的。那么我们梳理了国外有关数学课程标准的一些一些状况，特别是关于课程。内容整合、课程内容结构的一些具体的呈现的方式。那么我们发现多数国家其实他们都有内容的整合，这样的一个需求，或者是这样的一种呈现的方式。比如说很多国家在数与代数领域里边，用数与运算、数与计算、模式与关系、模式与代数等等这样的这样的方式表示。那么其实它是一种整合，比如说术语运算是术的认识和运算的理解、运用的整合，术语计算也是其实是一样的。模式与关系其实就把一些解决问题的模式和一些数量关系放在一个。物体里边那么有的用模式与代数，那么是把代数的东西代数和数学的模式放在放在一起那么是这样。其实我们国家国内也有数学课程结构化的这样的一些研究，比如说早在上个世纪九十年代，北京的马新南老师就开始研究小学数学内容的结构化。那么很多研究，比如说中科院数学所的，还有很多教学改革的一些，同时都是从课程结构课程内容的结构角度做一些研究。那么这方面的研究成果也是我们制定数学课程标准借鉴的很好的且做法。那么回过头来说，我们课程标准数学课程标准大致是这样的几个几个方面。一个是首先说了数学课程性质，那么数课程性质是数数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学阐述了数学在人的成长中的价值。另外就是课程里面，课程里面有一共有五个方面的课程理念，这里不详细说。其中有一个就是关于课程内容。关于课程内容是这样的表述的，就是课标数学课标二零二二年版，有课程内容的组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。好，我们这里边有两个事情，一个是结构化整合后边我们要重点说结构化整合。那么结构化整合的目的在什么探索发展趋势、核核心素养的路径。那么这也就回到上一个话话题大的话题，就是我们现在的课程目标是以核心素养为导向的那么实现核心素养导向的课程目标要有相应的一致的课程内容，包括它的结构、包括它的内容选择和安排与之相对应。所以那么就是在课程理念数学课程理念下边也提出来结构化的这样的一个基本的理念那么遵循这样的一个理念，我们确定提一系列的核心素养、课程目标、课程内容、系列质量，包括课程实施，都是在课程标准里。我我这里面不每一个每一个详详细去说。那么今天介绍的就是课程内容课程内容它的结构化。那么在标准的课程里边，延续了上两个版本，对数学课程内容分为四个领域，术语、代数、图形、几何、统计、概率、综合与时间，这四个领域保持不变，在二零一一年版也是让二零零一年版也基本是这样，后来文字上有点有点变动。
那么领域不变那么这种结构整合表现在什么地方表现在领域下边的主题。那么这四个领域根据学科内容的发展和学生的学习，那么内容它的内容的水平和基本思想为主线，循序渐进的，每一个学段的主题有所不同每一个学段的主题有所有所不同。那么综合实践是一种综合性的设计，以跨学科主题学习为主那么是内容的内容的安排那么我们的课程的整合，结构化的整合主要体现在主题层面上，就是领域下面的主题是如何整合的。我们从下边做一些介绍。第二就是说一下主题结构化整合的一个基本的思路。我们都知道数学课程是四个领域，那么我们每一个领域我们分别去说。首先我们看数与代数领域，先看一到三学段的主题后边我们再再说第四学段和什么样的关系。我们看左边是二零一一年版的几个主题，右边是二零二，二连板的主题术语怠速在左边。二零一一年版是有六个主题，数的认识、数的运算、常见的量、探索规律是与方程比正比例、反比例，有六个主题。而到二零二二年版变成了两个主题，那就是整体上主题有六个变成了两个。那么一一版的六个主题和二二版的两个主题什么关系？我们看数的认知和数的运算，我们整合为术语运算，不是简单的名称的叠加。我们后面再说这种组合意味着什么？这种组合意味着这样一种内容内容的整合、内容结构的这样的变化。然后探索规律是与方程正比例、反比例，整合为数量关系就是数量关系是这样的一个有这三个主题整合整合而来的。但是其实不仅是这三个主题的，还有一些其他的内容也是整合。后面我再说。然后还有一个常见的量。中间就有一个常见的量，常见的量就没有在数与代数这两个领域下边，常见的量把它放到综合与实践里。我们说常见的量常见量包括包括重量、单位、时间、时间、单位这样的这样的一些那么把它放到综合综合与实践里。所以说现在看这样的一些主题整合，六个主题两个主题整合为术语代数，三个主题整合为数量关系，一个主题调整到综合与实践。所以所以说二二版和一一版相相对主题的变化是相当大的。我说这一到三阶段，后边第四阶段我再说。所以这种主题的变化不是形式的变化。在形式变化基础上，其实它的内涵、它对我们的教学实践会带来很大的影响，这是术语术语代数。那我们再看图形有几何图形几何一一版是四个主题，图形的认识图、图形的认识测量、图形的运动、图形的位置。那么二板是整合为两个两个主题，图形的认识和测量，整合为图形的认识与测量。因为测量测量原来基本上是图形的测量，或者我们把测量集中在图形的测量。我们说从量感的角度可能还有测量，比如说时间的时间也有也需要测量也需要需要由时间单位去测量对吧那么重量也要也要去测量是吧有重量。那么所谓的测量我们放在综合实践里边。所以那么这两个那么就变成图形的认识与测量，其实相当于图形的认识和图形的测量那么这是这是那么图形的运动与位置整合到图形的运动和图形的位置整合的图形的位置与与运动。是这样，所以说那么也是这样，由四个主题整合为两个主题。那么好，再看统计与概率。我们我们看哈主题的数量的变化不大，还是三个主题。主题的描述的方式有所变化，但主题的描述方式和对于主题的理解其实关系是比较大的。你看，原来是分类，在低年级，特别是一年级是分类，那么到二二版叫数据分类。虽然加了两个字，但是其实对他的理解是不同的。分类是主要还是物体的分类，因为另外也包括数数的分类和图形的分类。那那是分类分类的理解是比较广的，而数据的分类就是能够用数据表达的那样的一些事物进行分类。事物如果是事物，你也可以把事物赋值把事物赋值也变成数据。为什么说数据分类？是和统计统计思想或者现在叫统计意识联系在一起的。因为后边后边两个其实都和数据有关系，特别是后边主题数据的收集、整理与表达随机现象的可能性。那么这些其实都是和数据有关的，所以说就数据就有一个同等的、一致性的这样这样的一个一个线索。所以这是统计概率综合与实践其实变化是很大的。综合与实践在因为在二零零一版。和二零一一版都有综合与实践这样的一个主题。比如二零一一版就是只是说运用综合运用知识和方法解决问题，就是笼统地说综合与实践就是综合运用知识与方法解决问题。那么在二零二发生一个重要的变化就是，综合实践以跨学科主题学习为主。主题学习那么并且强调跨学科，也是这一次课程标准修订的一个重要的一个理念，就是提倡跨学科的主题学习。那么数学里边的跨学科的主题学习重点是体现在综合实践在综合实践领域里边，我们设计了若干个主题学习。若干个主题主题学习的内容，然后去提倡主题式学习和项目式学习。初中阶段是提倡项目式学习，小学阶段是以主题学习为主，并且一个重要的变化就是一些知识内容融入到综合实践的主题学习里边。刚才刚才我们说的时间、重量还有方向，这样的一些这样的一些内容，我们都放在主题学习里边。所以这样的一个变化就和原来的这种教学方式会带来。新的这样的一些一些变化，变化就是你原来的综合与实践，那么只是学生活动，没有没有具体的内容。那现在把内容所要学的这样的一些内容，或者用我们原来说的知识点放在综合实践的活动里面。那么这样的设计应该是什么样的？应该怎么样去设计，也对我们的实施者是一些新的挑战，而这些挑战我们说都是这种主题的整合。所以综合实践刚才说把内容放在这里边也是一种整合把把一些内容放到你主题学习里边。所以说我们说四个领域都有相应的这样的这样的整合。这是我们说整合成什么样子。那么下面我们说主题。主题的结构化他表现出来的特征我们从三个方面，就是它的整体性、一致性和阶段性。我们在核心素养的设计上，其实也是具有这种整体性、一致性和阶段性，那是核心素养。我们在内容的结构化也体现了这样的几个特点，下面我简单的做一下介绍。首先我们说整体性。整体性是什么意思？整体性就是相同本质特征的内容的整合。就是把具有相同学科本质的那样的内容。放到一个主题里边，我们主题整合，刚才说两个放在放到一一起，数与运算，数量关系，三个。三个主题放的放的原来三个放放在一起都用数量关系来表达。那么是体现了他们的学科本质的这种一致性。比如说我比如说我们来说以数量关系为为为例来说，在一到三学段，我们看这是表的分布就是一到四学段，四个领域、各个主题。我们可以看术语代数，数一到三学段术语运算，到第四学段的数与试，一会儿我们再说。一到三学段数量关系，到第四学段是方程函数。那么图形几何也是这样几个主题这样几个主题，是吧？现在就说数量关系。你看，数与代数，一到三学段都是说数量关系，那么就是数量关系是一个大的主题，而不同学段有不同的这种表现方式和不同的内容。刚才我刚才我们说我们回忆一下，回忆一下，在二零一一版有两两种数量关系对吧就是就是乘乘法模型，我们叫乘法模型，总总数等于等于单加乘以数量，路程等于。速度乘以时间，那样两个数量关系二零二零。一零一版没有没有数量关系主题。而这些解决问题是分散在术语运算数的数与代数，同音几何的各个各个部分部分里边。那么慢慢慢慢到二零零二零一一版加了两个两个常见的数量关系那我们叫常见的数量关系。而现在我们发展到数量关系，包括了常见的数量关系，而由加法模型由拓展拓展成加乘法模型，又拓展为加法模型和乘法模型两两类模型和三个模式加法模型是总量等于分量加分量和刚那两个。然后再加上用四轮运算的意义解决问题，用不同的学到不同的数解决不同的问题。然后把原来的字母表示数，原来字母表示数是在数的认识里面，现在也放在数量关系里面。因为字母表示数更多的是发展学生的代数思维，还有比和比例，比和比例包括比包括正比例，也包括成正比的量等等这样的一些内容。那么都用数量关系这样的一个主题的一些核心概念来理解他们。我们就可以使他们成为一个整体。使它整体的重要意义在什么地方？就是保持他们之间联系，关注他们之间联系，后面我们再要介绍。所以所以我们下面我们老师可以去看课标，每一个这样相同的主题，它的内容其实它的本质特征是一样的。你知道它的本质特征的一致性，然后对我们理解是有有重要重要意义的。就是刚才我说的，我们把常见的常见的数量关系，有点常见的数量关系，运用数和运算，解决问题探索规律是与方程比和比例正比例排比例，都放在这里边。当然方程我们放到第四学第四学段了，其实还有。还有字母表示，字母表示数，原来字母表示数，放在里边，这是一个一个整合。其他的内容我们可以下面可以去去看。这是整体性的一个就是相同本质。另外一个整体性体现了研究对象家就是前两天史宁登教授在一个报告里专门提出来研究对象家的一些这样一些概念，就是研究对象。我们把数作为一个研究对象，把图形作为一个研究的对象，也就是说我们研究树不只是研究树，而且研究树的什么什么什么什么东西，是吧？所以叫研究对象加构成一个整体，就术语、运算和术的认识与测量，就术语运算。不是在树的基础上，数作为一个研究对象，因为数是数量的抽象。那么研究树不是研究树本身，要研究树的性质。说的性质是什么？比如说它既有性，比如说能被二三五整除的数的特征，那么我们都是要树的性质和树的关系树和事物之间的关系关系有大小关系。数的比较大小是一一种关系。另外就是运算就是运算。数通过不同的运算又得到新的数，那么我们最基本就是四折加、减、乘、除四的四折运算。图形图形我们不只是认识图形，那么长方形、正方形，第一次。零三角形，我们不只是认识图形本身，我们还要认识图形它的特征。我们说这边平行相等对吧，这是一个特征。然后我们在看图形的大小，就是图形的测量。图形我们图形测量就是它的周长面积、体积，对吧，图形要认识，图形的特征、它的测量。所以说我们就整合为术语运算。就是这样的一个一个整体，把它看成一个整体，研究对象和它的性质和它的关系放在在一起。图形的认识与测量就是图形本身的样子，它的特征。还有图形的大小，如何判断、如何测量、如何计算图形的大小。那么都是都是那么同样数据也是一样，数据数据本身我们要去认识，而数据的特征就是它的它的统计量。图表来表示，那么这样构成了一个整体，从意义上也具有整体性。整体性的第三个就是一到四学段，其实也构成了一个整体。刚才我分析的一到三学段，一到三学段我我们看哈，我们看一到三学段主题的名称是一样的，到第四阶段好像是不同了对吧？你看术语运算一到三学段是术语运算，第四学段是术语式那我们看一到三学段的术语运算和第四学段的术语式其实是一致的。什么一致？还是说本本质它的内容的本质是一致的。我们你一到三阶段你学习整数、小数、分数，到第四学段数是什么有理数。对吧那么数它的本质是一样的，然后是是是用字母表示的。用字母表示的关系表示这样的一种一种一种关系，也是数数的加运算，再加他们之间的这种这种关关系那么运算到第四弦的运算，不仅是数的运算，还有式的运算。代数式的运算是吧？那么他们也是构成一个一个整体。数量关系数量关系刚才说一到三学段那么多那么多内容，常见的数量关系、比和比例呀。好，到第四阶段是方程与不等式，还有函数方程与不等式以及函数最。这两个主题其实是数量关系的延展和数量是数量关系的这种抽象的表达。函数是数变量的变量的表达，变量之间关系的表达。是吧方程是未知数的这种等相等的这种表表达，或者是确确定量的这种等式和不等式的这种这种表达。那么它们本质都是数量关系。所以，他们是一脉相承的，树的认识与测量与树的性质是有关系的，树的性质包括证明、包括他们平行、包括他们全等等等不是数字性图，图形的性质和图形的性质是有是有关系的，去进一步从逻辑上、从抽象水平上认识认识对吧同同样数位置与运动和数的变化和坐标是有关系的，是吧？所以从意义上来讲，这种整体性是一致的，一到四学段构成一个整体，这是说整体性。那么下面我们说一致性。一致性表现在什么？我们说小学小学阶段是整数、小数、分数及其私人运算。到第四学段是有理数是四和和和代数。不是的一运算。那么其实他们横向上、纵向上都是具有一致性。我们以小学的这几个数和运算为例，我们说从整数到小数、分数，是什么样一个程？比如说关于数，整数。整数的表达是数字和数位的组合，就三十五、三十三、三十五是数字加上数数位三，三和五，三和五放在不同的位置上，表示三十和五对吧在一起是三三十五。小数？小数零点三五，零点三五也同样是数字加上数位，对吧是零点三五，零点三三零点三是十分位。十三，百分位是五，那么同样是十分位的三个是三个三个数十分位的三和百分位的五，那就是零点三五，对吧？那么他们是表达方式也是一致。分数分数分数有所不同对吧，分数还用五和三来说哈，五分之三五分之三这五分之三这两个是不不可分的。如果是分的话要怎么分？它还是数字加上数位。数位是什么在这里面是分数单位分数单位是五分之一。那么就可以说五分之三是三个五分之一。如果这样的话，和你三个十三个零点零点一和三个五分之一，表达就是一。是一致的，就是也是本质上也是这样。所以说我们说树的表达这种统一性，它的一致性都是数字加上计数的单位，所以我们把数位、分数单位都叫做计数单位。那么后面我们说计数单位，我们就可以把它再看作一个核心概念。好，我们再来看数的运算。数的运算加法是最基本的，基本的运算。加法我们说用两位数加法，三十五加上四十八，那么等于三十加上四十，加上五加上八。什么意思？我们为什么把三十和四十放到一起？三十加上四十，因为两个都是三个十和四个十，所以先加三十，四十等于七十。然后形式上算的就是十位上的三加四等于七等于七个。操作上是三加三加四是什么三加四，十位上的三加四，它到底是三十加上四十，再加上五和八。当然这里边要用到交换力、结合力，我不说，那么这是这是最基本的加法，小数加法也是这样。零点三五加上零点四八是零点三，加上零点四加上零点零五加上零点零八，也同样，零点三加零点是等于零点七，再加上十三三个零点零一那就是那就是零点哎十三，十三个零点零一那就是那就是零点一一三，对吧？然后再去操作跟加法跟整数。加法是一样的，是吧道理是一样。分数？分数有不同，分数又不能分数，我们还是用这几个数说五分之三加上八分之四，你就不能直接那样，你就不能是三加四是五加八对吧？我们不能我们不能说三加四等于七、五加八等于十三等于十三分之七。那么这样这样是不行的，为什么不行？我们不行的原因就是他没有做到分计数分数、单位的下降。我们前面都是说单位多少个单位？单位的个数相加，对，前面说相同单位的个数相加相同单，相单位是什么？问题就是五分之三和八分之四的单位是不同的，五分之三的单位是五分之一，五分之三分之四的单位是。八分之一对吧？八分之一和五分之一多少个五分之一多少个八分之一不能直接相加，就像你十位上的三不能加不能直接加个位上的八。你我我五三十五加上四四十八，三加八等于十一，这是不对的，对吧？三加八等于等于等于十一，你是没有道理的，就相当于你。那么怎么样让它相同？就变成相同的单位，所以变成四十分之二十四加上四十分之二二十那么就等于四十分之二十四加上二十四十分，四二十四相加就相当于二十四个四十分之一，再加上二十个四十分之一等于四十四个四十分之一，所以等于四十分之四十四。当然你可以变成带分数，那是另外一个问题，对吧。好，那么如果这样的话，我们就看到它的一致性，一致性的是什么都是相同的计数单位的个数的累加。你要找到计数单位要找到相同的计数单位，你无论是省出小数，分数相同计数单位加就没有错。那么我们也把叫做核心的概念，他们在核心概念学科反映、学科本质的核心概念上是一致的。所以这两个大家记住，后面我们可能还要用。从这里边我们就可以看出它的一致性。对吧另外，我标准里边其实我们我们回到标准哈标准里面有很有一些关。一致性的表达。大家根据前边对一致性的理解，可以理解标准中的关于一致性的这样的一些表达。比如说第二学段，第二学段就是在认识整数的基础上认识小数和分数，通过数的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意义。所以我们要记住这句话哈，感悟计数单位的意义，了解运算的一致性。为什么感受感悟分数单位的意义就是要了解它的一致性。我们看第二阶段叫了解一致性了解一致性。第三阶段也是进行简单的小数分布运算、感悟运算的一致性。所以从里边我们就看标准里边的这样的一些表述，其实是基于主题整合所出现的这种一致性。标准里边提到一致性的直接提到一致性的话并不多，但是我们从一致性的角度、从学科本质的核心概念相同角度我们来理解，可能会帮助我们理解更多的那样内容的一致性。然后我们再看数与运算，我们把术语运算整合在一起，这说明术语算其实他们他们是具有一致性的，他们是一个整体。我们开始就说从整体来看，术语运算的是研究对象加研究对象是数。那么加加什么加它的性质，加它的运算，是吧，加它的。我们我们开我们从从自然数开始就是从一一开始，一再加上一就是有新的数。所以说自然数的产生逐渐的扩大，其实就和佳联联系在一起的，产生过程其实就就标志的运算和数有密切的关系那么。加法是所有运算的基础，其他的运算其实都从加法演变出来的。加和自然数有直接的关系。那么减是加的逆运算，你你加是加法是加一加一加一对吧，你减法就是减一减一，减一减几就是连续减几个一，对吧那就是逆运算。乘法，乘法也是加对吧？乘法是相同加数核的简便运算，那么其实它也是加，你。你加最原始是加一加一乘法是三加三加三再加三再加三等于三乘以四，对吧？我表示成三乘以四，三乘以四什么意思？是四个三的累加是四个三的累加四个三的累加。我们也再分解，也可以说三再加一加一加一，连续加。那么多，加到加到多少加到十二。讲了十二，所以我们说四乘以三是十二，那就是三个三，哪家是十二或者是三个一，加是十二除法？除法是乘法的逆运算，那么你是累加相同加数的，和那么除法就是连连续的减连减一个相同的数，对吧？是吧十二除以十二除以三十二除以三减一个三减一个三，一共减去四个三。所以说那么运算它是。这样的具有具有一具有一致性的。所以我们看小数乘法。小数乘法它是数和运算这样的一个整合，是针对所有的运算，都是针对具体的数，那么运算是针对小小数的。那么它的一致性表现怎么什么样就是计数单位个数的累加。计数单位你看整数、小数，你你你实际上的累累加是一个，累加是一个概念，核心概念，计数单位又是一个核心概念。我们只要记住计数单位和累加这样两件事情，就解决所有的数和运算他们的核核的问题。核心小小数乘法小数乘法，计数单位，小数位就是十分为百分为间份位。那么你小数乘法也是，他这些位不同数位的数，如果乘几就就是加加几次。那么你你都可以追溯到这样。所以说术语运算它也具有具有一致性。所以从意义上来说，我们在在想混合运算是另外一个问题，我这里不说，大家可以去思考。好，这是说的一致性。下面就是阶段性，所谓的阶段性是什么意思？阶段性我们可以从三个方面，一个是学业要求的不同水平，不同的学段有学业要求的不同水平。第二是思维水平的阶段性。第三个核心素养的阶段性。首先我们看学业学业要求。我们在课标里边表现形式上，前面我没说哈，那内容的呈现方式上有一个大的变化。我们有内容要求、学业要求和教学提示。学业要求是标示学生学到什么样的程度。我们看，不同学段在同一个主题下的内容的要求、学业要求是不同的，那么体现了一种阶段性。比如说第一学段第一学段是能用数表示物体的个数和事物的顺序，能读任读写万以内的数。说出不同数位的表格，那是这是第一第一第一学段第一学段对于数的认识。第二学段是认识万以内的数，外面的数，是是万。你哎哎外以上的数。第二第一学段是万，就是从学习的整整数，我们只看整数哈。当然第二学段还有小数小数数和分数的初步认识。第三阶段就是理解小数分数意义，从数的扩展这上面有些要求，有有有阶段性，我们所说的思维水平。我们回到我们刚才说的核心概念。从数的意义上来说，核心概念。我们我们回想刚才说的核心概念，计数单位、计酬单位的累加，我们作为核心概念。那么在核心概念在不同学段上是怎么表表征的？看第一学段，能说出不同数位上的数表示的数值，要求什么意思？你要知道。个位上是几几个，十位上是几十，百位上是几百几十、几百，对吧？能说出数数位。我们再看第二阶段，是了解十进制计数法，从数位扩展到十进制的计数法。整个整数整数正正整数哈，认识自然数作为一个作为一个整体，然后感悟分数单位，因为第二阶段有分数，有的分数初初步认识。好，第三阶段，感悟计数单位。我我们看，是一一条线，是所谓的核心概念。回到我们刚才的计数单位的核心概念，计数单位开始是数位，然后十进制计数法，然后有分数单位，有小数单位，有有整数的数位到分数。有分数，分数单位有小数的小数的单位，对吧十分位、百百分位。然后到第三阶段小数分数都学之后，叫感悟计数单位。好，核心概念的层次性，而这几个都是计数单位的核心概念，我们是一条线的。这一条线他们具有具有这种这种一致性和阶段性核心素养的阶段性。我们第一阶段你说初步形成初步的数感和符号意识对数感、符号意思书认识是最重要的。第二阶段形成数感符号意识。第三阶段进一步发展数感和符号意识。因为在小学阶段，手感符号意识就是阶段性的表现。那么我们。用不同的词，大家可能说你初步形成是什么意思，形成初步的，然后行然后进一步发展，大家体会有不同层次的要求，就我们就是核心素养也有不同的要求，这是这是第一个大的问题，我们说对于主题整合它的理解、它的它的特征。第二，我们说课程内容结构化的价值与意义，就是为什么我们要结构化？结构化它的意义是什么？对于我们的教学意味意味着什么？我们想从三个三个方面来，一个是它内容的关联，一个是知识方法的迁移，一是核心素养。首先我们说结构化，课程内容的结构化，凸显了内容的关联。我们回到基本的一些理理论反思一下，或者是回回顾一下它的发展结构化的这种脉，如果我们追溯的话，不往不往不往再早更早的追溯，我们追溯到上世纪六十年代，最有影响的就是布鲁纳。布鲁诺的教育过程相信很多人都看过这本书，不太厚的一本书。那么布鲁纳在教育过程里边，好，一个很重要的观点就是知识的结构化，就学习内容的结构化。他在那本书里有说，简单地说学习结构，他说结构化就是要学习结构，学生不仅不是学习碎片的知识，而是学习结构，学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。是什么意思？其实就是说结我就是你解释了，我们现在的结构化，它的目的就是体现学习内容之间的关联。学习内容之间学习内容可能是碎片的、杂乱的、分散在不同的主题主题下，分散在不同的学段下，但是他们的关联是什么？你如果把它关联能够找到，那么就能够更使学生更好的理解学科的基本原理关联。理解关联是目的是学理解基本原理，然后促进学习内容的掌握和能力的发展。是是当时布鲁纳的一个一个观点。当然他还说了，他举了一些。电子这本书里边也也举了数学的例子，大家有时间可以去看。那么学科内容的结构化目的是要了使学生不仅了解某一个知识、某些知识，而且描写知识之间的关联。那这种关联是通过什么关联的？通过通过核心概念，就是不是个别知识的掌握，而是从内容之间的关联中体会其中的核心概念。在布鲁纳布鲁纳那本书里边叫基本观念，那翻译成基本观念我看了英文的叫叫贝斯改变，也可以翻译成基本概念，所以说布罗娜叫基本概念，那么现在我们叫核心概念。而另外一个学科教育的专家，施瓦布也也也说说学科结构。学科结构是什么学科结构是部分的，由规定的概念系统所构成的，有概念系统。那这是什么意思？就是我们要学习不仅学习单个的内容、一系列内容，而且要学习结构由核心概念组成，签一位线索这样的结果。然后有一句话很重要，就是讲这些核心概念在气候的学习中反复运用和强化。核心概念是在后来的学习中反复运用和强化的，是以不同的方式所表达的。刚才我们说计数单位是个大的。我们在小学一年级的时时候就说是数位，你不能跟学生说计数单位就是数位是具体，然后有小数的单位，然后有分数的单位，然后我把它最后统一成都是计数单位。而学生脑子里边就是不同的位置上的数，它表示的值是不同的，而数的表达是多少个用多少个单位或者多少个单位的组合而成的。那么然后这样的一种东西在用到运算的时候，那也就是你对多少个单位的操作，多少个一多少个、十多少个十分之多少个十分之一、百分之多少个八分之一，多少个五分之一等等等等，都是对他多少个单位的这样的一个表达。那么在意义上他们是一致的。所以说核心概念是不断地反复出现和强化，还有不断的进阶，用现代时髦的语哇依然是说是吧。所以那么这就是说所以说现在我们用的好多，比如说大概念、大观念、核心概念、基本概念，我认为哈和与核心概念与学科结构核心概念是一脉相承的。他们表达的含义应该是应该是一致的，可能略有略有不同是吧在不同的学科里边可能也有略有不同。实质表达的含义都是要结都是都是为了实现结构化，都是为了实现内容学习内容之间的关联，用核心概念把它们关联出来。所以说学生学的不是知识，不不仅是个别的知识，而且要学习那些个别知识中蕴含的核心概念，然后通过这些核心概念的反复运用和强化，然后实现知识方法的迁移。就是下面我们说的，结构化有助于知识与方法的迁移。其实前面我们已经已经说了也说了一点，结构化事实，零散的内容，通过核心概念使咱们串联起来，建立起关联。那么这些核心概念可以把主题中零散的内容。联系起来，促进知识与方法的迁移。怎么迁移？不是知识本身的，建议你记住，记住单个记住越来越多的知识。实现不了迁移，知识本身实现不了迁移，知识背后或者知识所蕴含的核心概念是助于迁移的。所以说这种迁移是一种运用核心概念来实现的迁移，你整数不能直接迁移到分数，对吧？但是你由数位你牵扯，你迁移到分数单位，这是可以做到的，它的本质是一样的，对吧？所以核心概念是可以把领域或者主题内，甚至跨越主题的一些不同的这样一些东西联联系起来。不同主题，这是教授主编的，主编的叫数学教育手册数学教育手册里边第二第二册里边有这样关于核心概念这样一句话，我觉得他对核心概念也是说的比较清楚，就是就是主题甚至跨主题、跨领域的基本的概念、方法和问题联系起来，其具有支配性的概念。就是核心概念是有支配线的，就概念是促进有意义的、联系紧密的知识的一个强大的工具。